【新教材】机械振动章节综合
[巩固层·知识整合]
[提升层·能力强化]
简谐运动的周期性和对称性
1.做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以做简谐运动的物体具有周期性．
2．做简谐运动的物体其运动具有对称性．对称性表现在：
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．
(2)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．
(3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过该段的时间相等．
【例1】 一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动，它离开O点后经过3 s时间第一次经过M点，再经过2 s第二次经过M点，该质点再经过________s第三次经过M点．若该质点由O点出发在20 s内经过的路程是20 cm，则质点振动的振幅为________cm.
[一语通关]由于简谐运动的周期性和初始条件的不确定性，往往引起此类问题的多解，解决此类问题时要将题目分析透彻，弄清各种可能性，切勿漏解.
1．光滑水平面上的弹簧振子，振子质量为50 g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t＝0.2 s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4 m/s.则在t＝1.2 s末，弹簧的弹性势能为________ J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为________Hz,1 min内，弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为________次．
简谐运动的图像及应用
简谐运动的图像描述了振动质点的位移随时间变化的规律．从图像中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下：
项目
内容
说明
横、纵轴表示的物理量
横轴表示时间，纵轴表示质点的位移
①振动的图像不是振动质点的运动轨迹
②计时起点一旦确定，已经形成的图像形状不变，以后的图像随时间向后延伸
③简谐运动图像的具体形状跟正方向的规定有关
意义
表示振动质点的位移随时间变化的规律
形状
应用
①直接从图像上读出周期和振幅
②确定任一时刻质点相对平衡位置的位移
③判断任意时刻振动质点的速度方向和加速度方向
④判断某段时间内振动质点的位移、速度、加速度、动能及势能大小的变化情况
【例2】 (多选)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大
2.(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知( )
A．质点振动频率是0.25 Hz
B．t＝2 s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2 cm
D．t＝3 s时，质点所受的合外力一定为零
单摆周期公式的应用
1.对单摆周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立．
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋r球．
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关．
2．有关周期T的常见情况
(1)同一单摆，在地球的不同位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同．
(2)同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同．例如单摆放在月球上时，由于g月<g地，所以同一单摆在月球上的周期比在地球上的周期大．
(3)当单摆处在绕地球运行的卫星中时，由于卫星处于完全失重状态，等效重力加速度g＝0，则周期T为无穷大，即单摆不会振动．
(4)当单摆放在竖直方向的电场中，若单摆带电，则类似于超(失)重，等效加速度g′＝g＋a(g′＝g－a)，其中a＝，故周期T变化．(g>a)
(5)当带电单摆放到跟振动平面垂直的磁场中时，由于洛伦兹力始终与速度方向垂直，不改变等效加速度g′的大小，故周期T不变．
【例3】 如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球的直径为d(d≪l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°.则：
(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？
(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？
[一语通关]
(1)不同的摆动方向，等效摆长不同，振动周期也就不同.
(2)同一单摆放到不同环境中，等效重力加速度不同，导致周期不同.
3．如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a(g>a)向下加速的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电荷，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电荷，放在匀强电场E中，周期为T丁，单摆甲、乙、丙及丁的摆长l相同，则下列说法正确的是( )
甲 乙 丙 丁
A．T甲＞T乙＞T丁＞T丙 B．T乙＞T甲＝T丙＞T丁
C．T丙＞T甲＞T丁＞T乙 D．T丁＞T甲＝T丙＞T乙
[培养层·素养升华]
情景：共振的危害
(1)雪崩
(2)轮船在大海中航行
共振现象是自然界中常发生的一种物理现象．发生共振时常常给生活和自然界带来危害．如在冰山雪峰间常发生雪崩造成自然灾害，轮船在大海中航行时受到波浪冲击时有时会出现翻船危险．
[设问探究]
1．什么是共振现象？产生共振的条件是什么？
2．运动员登山时为什么要严禁高声说话？
3．轮船在大海中航行，遇到波浪为什么常选择改变航向和速度，从而避免发生翻船事故．
[深度思考]
(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6 m，列车的固有周期为0.315 s．下列说法正确的是( )
A．列车的危险速度为40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车与桥发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
【新教材】机械振动章节综合（教师版）
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简谐运动的周期性和对称性
1.做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以做简谐运动的物体具有周期性．
2．做简谐运动的物体其运动具有对称性．对称性表现在：
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．
(2)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．
(3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过该段的时间相等．
【例1】 一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动，它离开O点后经过3 s时间第一次经过M点，再经过2 s第二次经过M点，该质点再经过________s第三次经过M点．若该质点由O点出发在20 s内经过的路程是20 cm，则质点振动的振幅为________cm.
[解析] 作出该质点振动的图像如图所示，则M点的位置可能有两个，即如图所示的M1、M2.(1)第一种情况：若是位置M1，由图可知＝3 s＋1 s＝4 s，T1＝16 s，根据简谐运动的周期性，质点第三次经过M1时需再经过的时间为Δt1＝16 s－2 s＝14 s．质点在20 s内的路程为20 cm，故由5A1＝20 cm，得振幅A1＝4 cm.(2)第二种情况：若是位置M2，由图可知＝3 s＋1 s＝4 s，
T2＝ s．根据对称性，质点第三次经过M2时需再经过的时间为Δt2＝ s－2 s＝ s，质点在20 s内的路程为20 cm，故由15A2＝20 cm，得振幅A2＝cm.
[答案] 14或 4或
[一语通关]由于简谐运动的周期性和初始条件的不确定性，往往引起此类问题的多解，解决此类问题时要将题目分析透彻，弄清各种可能性，切勿漏解.
1．光滑水平面上的弹簧振子，振子质量为50 g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t＝0.2 s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4 m/s.则在t＝1.2 s末，弹簧的弹性势能为________ J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为________Hz,1 min内，弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为________次．
[解析] 根据其周期性及对称性，则有周期T＝0.8 s，振子的最大速度为4 m/s，则最大动能Ekm＝mv2＝0.4 J．根据振子振动的周期性判定在t＝1.2 s末，振子在最大位移处，据机械能守恒有Ep＝Ekm＝0.4 J，物体的振动周期为0.8 s，则其动能的变化周期为＝0.4 s，所以动能的变化频率为2.5 Hz.在物体振动的1个周期内(向平衡位置运动时弹力做正功)弹力两次做正功，根据其周期性可求得1 min内弹力做正功的次数为n＝×2次＝150次．
[答案] 0.4 2.5 150
简谐运动的图像及应用
简谐运动的图像描述了振动质点的位移随时间变化的规律．从图像中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下：
项目
内容
说明
横、纵轴表示的物理量
横轴表示时间，纵轴表示质点的位移
①振动的图像不是振动质点的运动轨迹
②计时起点一旦确定，已经形成的图像形状不变，以后的图像随时间向后延伸
③简谐运动图像的具体形状跟正方向的规定有关
意义
表示振动质点的位移随时间变化的规律
形状
应用
①直接从图像上读出周期和振幅
②确定任一时刻质点相对平衡位置的位移
③判断任意时刻振动质点的速度方向和加速度方向
④判断某段时间内振动质点的位移、速度、加速度、动能及势能大小的变化情况
【例2】 (多选)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大
ABD [t＝0.8 s时，振子经过O点向负方向运动，即向左运动，选项A正确；t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处，选项B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移等大反向，回复力和加速度也是等大反向，选项C错误；t＝0.4 s时到t＝0.8 s的时间内，振子从B点向左运动到平衡位置，其速度逐渐增加，选项D正确．]
2.(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知( )
A．质点振动频率是0.25 Hz
B．t＝2 s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2 cm
D．t＝3 s时，质点所受的合外力一定为零
ABC [质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz；t＝2 s时，质点的位移最大，回复力最大，加速度最大；质点的振幅为2 cm；t＝3 s时，质点的位移为零，所受的回复力为零，所受的合外力可能为零，也可能最大，选项A、B、C正确．]
单摆周期公式的应用
1.对单摆周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立．
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋r球．
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关．
2．有关周期T的常见情况
(1)同一单摆，在地球的不同位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同．
(2)同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同．例如单摆放在月球上时，由于g月<g地，所以同一单摆在月球上的周期比在地球上的周期大．
(3)当单摆处在绕地球运行的卫星中时，由于卫星处于完全失重状态，等效重力加速度g＝0，则周期T为无穷大，即单摆不会振动．
(4)当单摆放在竖直方向的电场中，若单摆带电，则类似于超(失)重，等效加速度g′＝g＋a(g′＝g－a)，其中a＝，故周期T变化．(g>a)
(5)当带电单摆放到跟振动平面垂直的磁场中时，由于洛伦兹力始终与速度方向垂直，不改变等效加速度g′的大小，故周期T不变．
【例3】 如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球的直径为d(d≪l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°.则：
(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？
(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？
[解析] 本题应理解等效摆长及单摆周期公式中的摆长．
(1)小球以O′为圆心做简谐运动，所以摆长l＝l0＋，振动的周期为T1＝2π＝2π＝2π.
(2)小球以O为圆心做简谐运动，摆长l′＝l0＋l0sin α＋，振动周期为T2＝2π＝2π＝2π.
[答案] (1)2π (2)2π
[一语通关]
(1)不同的摆动方向，等效摆长不同，振动周期也就不同.
(2)同一单摆放到不同环境中，等效重力加速度不同，导致周期不同.
3．如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a(g>a)向下加速的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电荷，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电荷，放在匀强电场E中，周期为T丁，单摆甲、乙、丙及丁的摆长l相同，则下列说法正确的是( )
甲 乙 丙 丁
A．T甲＞T乙＞T丁＞T丙 B．T乙＞T甲＝T丙＞T丁
C．T丙＞T甲＞T丁＞T乙 D．T丁＞T甲＝T丙＞T乙
B [对甲摆：T甲＝2π.对乙摆：T乙＝2π.
对丙摆：由于摆动过程中洛伦兹力总是垂直于速度方向，故不可能产生沿圆弧切向的分力效果而参与提供回复力，所以周期不变，即T丙＝2π.
对丁摆：由于摆球受竖直向下的重力的同时，还受竖直向下的电场力，电场力在圆弧切向产生分力，与重力沿切向的分力一起提供回复力，相当于重力增大了．等效重力F＝mg＋qE，故等效重力加速度g′＝g＋，故周期T丁＝2π，所以T乙＞T甲＝T丙＞T丁．]
[培养层·素养升华]
情景：共振的危害
(1)雪崩
(2)轮船在大海中航行
共振现象是自然界中常发生的一种物理现象．发生共振时常常给生活和自然界带来危害．如在冰山雪峰间常发生雪崩造成自然灾害，轮船在大海中航行时受到波浪冲击时有时会出现翻船危险．
[设问探究]
1．什么是共振现象？产生共振的条件是什么？
2．运动员登山时为什么要严禁高声说话？
3．轮船在大海中航行，遇到波浪为什么常选择改变航向和速度，从而避免发生翻船事故．
提示：1.(1)共振：驱动力频率f驱等于系统的固有频率f固时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫作共振．
(2)共振的产生条件：f驱＝f固，即驱动力的频率与物体的固有频率相等．
2．在冰山雪峰间，动物的吼叫声引起空气的振动，当频率等于雪层中某一部分的固有振动频率时，会发生共振，形成
雪崩，因此，登山队员严禁高声说话．
3．轮船在航行时，会受到周期性的波浪冲击而左右摇摆．如果波浪冲击力的频率与轮船的固有频率相同，就会发生共振，摆幅增大，甚至可以使船倾覆．这时可以改变船的航向和速度，使波浪冲击的频率远离船的固有频率．
[深度思考]
(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6 m，列车的固有周期为0.315 s．下列说法正确的是( )
A．列车的危险速度为40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车与桥发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
ABD [对于受迫振动，当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率v＝＝40 m/s，A正确，C错误；列车过桥需要减速是为了防止共振现象发生，B正确；由v＝可知L增大时，T不变，v变大，D正确．]